Ce este indicatorul lui Euler
Indicatorul lui Euler al unui număr n, notat cu φ(n) sau phi(n), reprezintă numărul de numere mai mici sau egale cu n și totodată prime cu acesta. Spre exemplu, phi(4) = 2, deoarece singurele numere mai mici sau egale cu 4 și prime cu acesta sunt 1 și 3.
Exemple
Iată valorile lui phi(n), pentru 1 ≤ n ≤ 15. Se observă că pentru un număr prim p, phi(p) = p - 1.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| φ(n) | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 | 4 | 12 | 6 | 8 |
Cum se determină indicatorul lui Euler al unui număr n
Fie p1, p2, …, pk factorii primi ai lui n. Atunci, phi(n) are următoarea formulă:
Prin urmare, vom crea o variabilă phi, inițial egală cu numărul nostru n, după care vom găsi divizorii primi ai lui n folosim algoritmul clasic, pe care l-am învățat în această lecție. Pentru fiecare divizor prim, vom reclacula valoarea phi. La final, determinăm corect valoarea phi.
Implementare C++
Cu această observație, implementarea în C++ este:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
//Declarăm și citim n
int n;
cin >> n;
int phi = n;
for(int d = 2; d * d <= n; d++) {
if(n % d == 0) { //Am găsit un divizor prim
phi = phi / d * (d - 1);
while(n % d == 0)
n /= d;
}
}
if(n > 1) {
phi = phi / n * (n - 1);
}
cout << phi;
return 0;
}
Cum se determină indicatorii lui Euler pentru numerele de la 1 la n
Vom utilza un algoritm similar cu cel al ciurului lui Eratostene. Ciurul lui Eratostene este un algoritm important care ia numeroase forme, însă la bază poate să determine pentru orice număr de la 1 la n, care sunt prime. Puteți citi mai multe despre acest algoritm (și să urmăriți implementarea) pe această pagină.
Algoritmul de mai jos se folosește de formula matematică a lui phi(n). Dacă știm factorii primi ai unui număr, atunci avem formula:
Unde p1, p2, …, pk sunt factorii primi ai lui n.
Prin urmare, vom salva în ciur valoarea n, iar de fiecare dată când întâlnim o valoare primă i, vom luat toți multiplii j ai săi, astfel încât i este un factor prim al lui j. Vom înmulți phi(j) cu (i - 1) / i.
Implementare C++
Iată codul care implementează ideea de mai sus:
#include <iostream>
using namespace std;
//Ne declarăm ciurul
int ciur[1001];
int main()
{
//Declarăm și citim n
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
ciur[i] = i; //La început, asumăm că numărul de numere prime cu i și mai mici ca acesta este i
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(ciur[i] == i) {
for(int j = i; j <= n; j += i)
ciur[j] = ciur[j] / i * (i - 1);
}
//Afișăm la final indicatorul numerelor de la 1 la n
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cout << ciur[i] << " ";
}
return 0;
}